Puede utilizar la aplicación Recursion para trabajar con fórmulas recursivas de secuencias numéricas con términos generales, dos términos o tres términos. Se creará una tabla numérica de la fórmula recursiva y se dibujará un gráfico. También puede dibujar un Phase Graph basado en dos fórmulas recursivas del mismo tipo o un Web Graph para comprobar la convergencia o la divergencia de fórmulas recursivas con dos términos.

Ejemplo:  Crear una tabla numérica para la fórmula recursiva con tres términos (secuencia de Fibonacci) $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ en la que el primer término sea $u_1=1$, el segundo término sea $u_2=1$ y el valor de la variable $n$ cambie de 1 a 6 y, a continuación, dibujar el gráfico de la tabla numérica

1. h > Recursion

2. Especifique el tipo de fórmula, el tipo del primer término y el dominio de la tabla numérica.

1. En la pestaña Sequence, presione u para resaltar la primera línea.

2. Presione O y utilice el menú Setup que aparece para configurar los ajustes que se muestran a continuación.

[Type] > [${\text{u}}_{\text{n}+2}$]

[First Term] > [${\text{u}}_1$]

[Set Table Domain] > [Start]: 1 ; [End]: 6

3. En la pestaña Sequence, introduzca $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$, $u_1=1$, $u_2=1$.

d (se resaltará la línea 2 (${\text{u}}_{\text{n}+2}$))
C > [Recursion] > [${\text{u}}_{\text{n}+1}$]+
C > [Recursion] > [${\text{u}}_{\text{n}}$]E
1E
1E



4. Para visualizar la tabla numérica, presione >.

La tabla numérica se mostrará en la pestaña Table.



5. Para dibujar un gráfico, seleccione T > [Graph Points].

1. Seleccione [Pre-set Windows] > [Standard] en el menú View Window que aparece.

2. A continuación, resalte y presione O.

El gráfico de la tabla numérica se mostrará en la pestaña Table.



6. Para volver a visualizar la tabla numérica, presione b.

Si presiona <, volverá a la pestaña Sequence.

En la pestaña Sequence, seleccione uno de los tipos de fórmulas mostrados a continuación e introdúzcalo.

1. En la pestaña Sequence, utilice u para resaltar la primera línea.

Al presionar U, siempre se resalta la primera línea.

2. Presione O.

1. En el menú Setup, seleccione [Set Table Domain].

2. Resalte [Start], introduzca un valor inicial (0 o un entero positivo) y, a continuación, presione E.

3. Resalte [End], introduzca un valor final^* (un entero positivo que sea mayor que el valor inicial) y, a continuación, presione E.

4. Para cerrar el menú, presione b.

Antes de dibujar un gráfico web en la pestaña Table, especifique las coordenadas de inicio (coordenadas $x$) por adelantado. Para especificar las coordenadas de inicio, seleccione [Set Web Graph Start] en el menú Setup. Para obtener información sobre cómo dibujar un gráfico web, consulte Usar un Web Graph para comprobar la convergencia o la divergencia de una secuencia numérica.

En la pestaña Sequence, resalte la línea en la que quiera introducir algo y empiece a escribir. Para editar una parte de algo que ya haya introducido, presione O, r o l.

Use C > [Recursion] para introducir $n$, $u_n$, $u_{n+1}$ (y $v_n$, $v_{n+1}$, $w_n$, $w_{n+1}$).

Si el tipo de fórmula es [${\text{u}}_{\text{n}+1}$], [‎${\text{u}}_{\text{n}}$‎,‎${\text{v}}_{\text{n}+1}$‎], [‎${\text{u}}_{\text{n}+1}$‎,‎${\text{v}}_{\text{n}}$‎] o [‎${\text{u}}_{\text{n}+1}$‎,‎${\text{v}}_{\text{n}+1}$‎], introduzca el primer término. Si el tipo de fórmula es [${\text{u}}_{\text{n}+2}$], introduzca el primer término y el segundo término.

Ejemplo:  Introducir la siguiente ecuación, que consiste en una fórmula recursiva con dos términos $u_{n+1}$ y un término general $v_n$. A continuación, crear una tabla numérica y graficar la tabla.

$u_{n+1}=\frac{{6u}_n+2}{u_n+5}$ (sin embargo, $u_0=8$)

$v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1}$

1. En la pestaña Sequence, presione u para resaltar la primera línea.

2. Presione O. A continuación, utilice el menú Setup que aparece para configurar los ajustes que se muestran a continuación.

[Type] > [‎${\text{u}}_{\text{n}+1}$‎,‎${\text{v}}_{\text{n}}$‎]

[First Term] > [${\text{u}}_0$]

[Set Table Domain] > [Start]: 1 ; [End]: 6

3. Introduzca: $u_{n+1}=\frac{{6u}_n+2}{u_n+5}$ , $u_0=8$ , $v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1}$

d (se resaltará la línea 2 ($u_{n+1}$))
e6C > [Recursion] > [${\text{u}}_{\text{n}}$]+2d
C > [Recursion] > [${\text{u}}_{\text{n}}$]+5E
8E
eC > [Recursion] > [${\text{u}}_{\text{n}}$]-2d
C > [Recursion] > [${\text{u}}_{\text{n}}$]+1E



4. Para visualizar la tabla numérica, presione >.

Se mostrará la tabla numérica en la pestaña Table.



5. Para dibujar un gráfico, seleccione T > [Graph Points].

1. Seleccione [Pre-set Windows] > [Standard] en el menú View Window que aparece.

2. A continuación resalte y presione O.

El gráfico de la tabla numérica se mostrará en la pestaña Table.

Consulte Para borrar una función.

Consulte Configuración del dibujo de gráficos (tipo de línea, color de línea).

De las fórmulas recursivas mostradas en la pestaña Sequence, las que tienen el ajuste T > [Select] activado pueden usarse para crear tablas numéricas. Para determinar si el ajuste está activado o desactivado, consulte el icono que se muestra a la izquierda de la fórmula recursiva.

Para crear una tabla numérica, presione > o <, o resalte y, a continuación, presione O.

Si se activa S > [‎$\mathrm{\Sigma }$Display], se añadirá una columna de suma acumulativa a la tabla numérica para cada término ($\mathrm{\Sigma }{u}_n$, $\mathrm{\Sigma }{v}_n$ y $\mathrm{\Sigma }{w}_n$).

En la pestaña Table se muestra una tabla numérica o un gráfico. Cuando pase de la pestaña Sequence a la pestaña Table, inicialmente se mostrará la tabla numérica. Con el menú T, puede cambiar la visualización de la tabla numérica al gráfico.

Puede utilizar las teclas de cursor, así como las teclas U y D para cambiar el resaltado de una celda a otra. También podrá realizar las siguientes acciones desde el menú T.

Puede crear tablas numéricas (secuencias) a partir de dos fórmulas recursivas y, a continuación, dibujar un Phase Graph usando los valores de una fórmula como el eje horizontal y los valores de la otra como el eje vertical.

Ejemplo:  Introducir las dos fórmulas recursivas con dos términos $u_{n+1}={\mathrm{0,9}u}_n$ y $v_{n+1}=v_n+\mathrm{0,1}n-\mathrm{0,2}$, en las que los primeros términos sean $u_1=1$ y $v_1=1$, respectivamente. A continuación, crear secuencias que cambien el valor de la variable $n$ de 1 a 10 y utilizar luego dichas secuencias para dibujar un Phase Graph.

1. En la pestaña Sequence, presione u para resaltar la primera línea.

2. Presione O y utilice el menú Setup que aparece para configurar los ajustes que se muestran a continuación.

[Type] > [${\text{u}}_{\text{n}+1}$]

[First Term] > [${\text{u}}_1$]

[Set Table Domain] > [Start]: 1 ; [End]: 10

3. En la pestaña Sequence, introduzca $u_{n+1}={0.9u}_n$, $u_1=1$, $v_{n+1}=v_n+0.1n-0.2$, $v_1=1$.

4. Presione > para ir a la pestaña Table.

5. Seleccione T > [Phase Graph].

6. En el menú View Window que aparece, introduzca los valores mostrados a continuación.

‎$x$‎ Minimum = 0, ‎$x$‎ Maximum = 2, ‎$x$‎ Scale = 1

‎$y$‎ Minimum = 0, ‎$y$‎ Maximum = 4, ‎$y$‎ Scale = 1

7. Resalte y, a continuación, presione O.

El Phase Graph se mostrará en la pestaña Table.

Por ejemplo, representar gráficamente $y=f\text{(}x\text{)}$, donde $u_{n+1}=y$ y $u_n=x$ en una fórmula recursiva con dos términos que puede expresarse en términos de $u_{n+1}$ y $u_n$. Solape esto con una línea recta con una pendiente de 45 grados (gráfico de $y=x$). Puede usar estos dos gráficos para dibujar un gráfico web de forma automática.

Si se selecciona [Web Graph] en el siguiente ejemplo, se obtiene automáticamente la representación gráfica de $y=f\text{(}x\text{)}$ y se dibuja una línea recta con una pendiente de 45 grados. A continuación, basta presionar O varias veces para dibujar el gráfico web. Observando el comportamiento del gráfico web, puede entenderse de forma intuitiva si la secuencia es convergente o divergente.

Ejemplo:  Introducir la ecuación de fórmula recursiva con dos términos $u_{n+1}=\text{-}3{u_n}^2+3u_n$ (primer término: $u_0=0.01$), dibujar un gráfico web y determinar si este es convergente o divergente

1. En la pestaña Sequence, presione u para resaltar la primera línea.

2. Presione O y utilice el menú Setup que aparece para configurar los ajustes que se muestran a continuación.

[Type] > [${\text{u}}_{\text{n}+1}$]

[First Term] > [${\text{u}}_0$]

[Set Table Domain] > [Start] : 0 ; [End] : 6

[Set Web Graph Start] > [‎${\text{u}}_{\text{n}}$Start] : 0.01^*

Haga que la coordenada $x$ del punto inicial para dibujar el gráfico web tenga el mismo valor que $u_0$.

3. En la pestaña Sequence, introduzca $u_{n+1}=\text{-}3{u_n}^2+3u_n$, $u_0=0.01$.

4. Presione > para ir a la pestaña Table.

5. Seleccione T > [Web Graph].

6. En el menú View Window que aparece, introduzca los valores mostrados a continuación.

‎$x$‎ Minimum = -0.52, ‎$x$‎ Maximum = 1.52, ‎$x$‎ Scale = 1

‎$y$‎ Minimum = 0, ‎$y$‎ Maximum = 1, ‎$y$‎ Scale = 1

7. Resalte y, a continuación, presione O.

Se mostrará la representación gráfica de $u_{n+1}=\text{-}3{u_n}^2+3u_n$ y se dibujará una línea recta con una pendiente de 45 grados.



8. Presione O.

Aparecerá un puntero en forma de cruz () intermitente en el punto inicial del gráfico web.

9. Presione O 20 veces.

Cada vez que se presiona O, se dibuja la línea recta del gráfico web. El gráfico indica que la serie numérica es convergente.

Para salir del dibujo del gráfico web, presione b.

Cuando se haya activado S > [Table with Graph], la ventana de la tabla numérica se mostrará a la derecha de la pestaña Table y la ventana de gráficos a la izquierda.

No se dibujará nada en la ventana de gráficos inmediatamente después de pasar de la pestaña Table a la pestaña Sequence. Haga lo siguiente para dibujar el gráfico.

Cada vez que selecciona T > [Switch Active Window], la ventana activa (la que se ve afectada por las acciones que lleva a cabo) cambia entre la ventana de la tabla numérica y la ventana de gráficos. La ventana de la tabla numérica está activa cuando el cursor se muestra en la tabla numérica.

Mientras la tabla numérica esté activa, puede realizar las operaciones descritas en Acciones que pueden realizarse mientras se visualiza una tabla numérica. Mientras se visualice la ventana de gráficos, puede realizar las operaciones indicadas en Acciones que pueden realizarse mientras se visualiza un gráfico, excepto las relativas a Pan y Fade I/O.